這本書是對陶哲軒數學天賦的高度展現！豆瓣高達9.8分
本書源自華裔天才數學家、菲爾茲獎得主陶哲軒在加州大學洛杉磯分校教授實分析課程的講義，自第1版出版以來一直深受讀者喜愛。原書分爲兩卷，中譯本將其合併出版。
全書從分析的源頭——數系的結構和集合論開始，然後引向分析基礎，再進入冪級數、多元微分學和傅里葉分析，最後介紹勒貝格積分，幾乎完全是以具體的實直線和歐幾里得空間爲背景，完美結合了嚴格性和直觀性。
本書將介紹高等實分析，這是關於實數、實數序列、實數級數以及實值函數的分析。雖然實分析與複分析、調和分析以及泛函分析是相關的，但與它們又是不同的。複分析是關於複數和複函數的分析；調和分析是關於調和函數（振動）的分析，比如正弦振動，並研究這些函數如何通過傅里葉變換構造其他函數；泛函分析研究的內容主要集中在函數上（以及這些函數如何構造出如向量空間這樣的東西）。
分析學是對這些對象進行嚴格研究的學科，並且着力於對這些對象做出準確的定性和定量分析。實分析是微積分學的理論基礎，而微積分是我們在處理函數時所用到的計算規則的集合。
以下是《陶哲軒實分析（第3版）》的前言。
來源 | 《陶哲軒實分析（第3版）》
作者 | [澳]陶哲軒（Terence Tao）
譯者 | 李馨
本書的內容來源於我2003年在加州大學洛杉磯分校給本科生講授高等實分析系列課程時所用的講義。該校的本科生普遍認爲實分析是最難學的課程之一，其原因不僅僅在於學生都是第一次接觸很多抽象的概念（比如：拓撲、極限、可測性等），還因爲本課程對於嚴格性和證明的要求較高。正是由於意識到學習本課程存在這樣的困難，教師在授課時往往面臨着如下兩種艱難的選擇：要麼選擇降低課程的嚴格性，讓學習變得更加容易；要麼堅持本課程學習中的嚴格標準，但是這樣大部分本科生在閱讀學習材料時就會非常吃力，包括那些既聰明又有學習熱情的學生。
面對這種進退兩難的局面，我嘗試採用一種稍不尋常的方法來教授本課程。按照通常的教學方法，實分析的導論部分都假定學生已經非常瞭解實數、數學歸納法、初等微積分和集合論基礎等知識，並且很快進入課程的核心部分，比如極限的概念。正常情況下，當學生學到核心內容時，教材會介紹必需的預備知識，但是大部分教材都不會對這些預備知識進行詳細的論述。例如，雖然學生能夠直觀地想象出實數和整數，並且對它們進行代數運算，但是很少有學生能夠真正定義實數或者整數。在我看來，這真的是錯失了一個非常好的機會。實分析、線性代數和抽象代數是學生最先學習的三門課程。通過對實分析的學習，學生能夠真正地領悟到嚴格數學證明的精妙之處。因此，這門課程爲我們提供了一個回顧數學基礎知識的絕佳機會，特別是爲我們正確全面掌握實數的本質提供了良機。
因此，本課程將按照如下的方式展開。第一週，我將給出分析理論中一些比較著名的“悖論”。在這些悖論中，分析理論中的標準法則（如：極限運算與和運算的交換法則，或者和運算與積分運算的交換法則）按照不嚴格的方式來應用，就會得到一些荒謬的結論，如0=1。這就啓發我們要回到這門課程的開端，甚至回到自然數的定義，並要求我們對所有基礎理論從頭進行驗證。例如，給學生的第一個家庭作業就是（只利用皮亞諾公理）證明對所有的自然數，加法結合律均成立（即對任意的自然數 a、b、c，(a + b) + c = a + (b + c) 均成立，見習題2.2.1）。所以，即便是在剛開始學習本課程的第一週，學生也必須利用數學歸納法寫出嚴格的證明過程。在推導出自然數的所有基本性質之後，我們將開始學習整數（整數最初被定義爲自然數的形式差）。一旦學生能證明整數的所有基本性質，我們將開始學習有理數（有理數最初被定義爲整數的形式商）。然後，我們（通過柯西序列的形式極限）來學習實數的相關知識。在學習上述內容的同時，我們也會學習集合論的一些基礎知識，例如，對實數不可數性質的闡述。只有在學完以上這些內容後（大概十講之後），我們纔開始學習人們通常認爲的實分析的核心部分：極限、連續性、可微性等。
按照這樣的方式來學習，學生在整個學習過程中的反饋非常有趣。在最初的幾週中，因爲只需要掌握標準數系的一些基本性質，所以學生認爲教材在概念層面上是非常簡單的。但是在知識層面上，教材非常具有挑戰性。這是由於爲了從數系較原始的屬性中嚴格地推導出更高級的屬性，我們是從最基礎的觀點來分析數系的。有一名學生曾經告訴我，他很難向那些沒有學習過高等實分析課程的朋友解釋清楚如下兩個問題：(a)爲什麼當自己還在學習如何證明有理數只能爲正、負或者零（習題4.2.4）時，那些學習非高等實分析課程的學生已經在學習如何區分級數的絕對收斂和條件收斂；(b)即便如此，爲什麼感覺自己的家庭作業要比那些同學的更難。另外一位學生非常苦惱地告訴我，儘管她很清楚爲什麼一個自然數 n 除以一個正整數 q 可以得到一個商a 和一個小於 q 的餘數 r（習題2.3.5），但是要證明這個事實對她來說非常困難，這令她很沮喪。（我告訴她在後續課程中，有些命題的正確性並不是顯而易見的，而且她一定能夠學會證明這些命題。但是，她看起來並沒有因爲我說的這些而感到欣慰。）然而，這些學生仍然非常喜歡做家庭作業，因爲他們通過自己的不懈努力，給出了關於某個直觀事實的嚴格證明，這加強了規範數學的抽象處理與對數學（以及現實世界）的不規範直覺之間的聯繫，讓他們感到非常滿足。當被要求給出實分析中令人厭惡的“ε − δ”證明時，他們已經通過大量的練習形成了直觀概念並且已經認識到數理邏輯的精妙之處（例如：“任意”和“存在”兩種表述的區別），這樣他們就能夠輕鬆地過渡到“ε − δ”這種證明，同時我們也能夠快速深入地開展課程。到第十週，我們就已經趕上非高等實分析課程的進度，學生也開始驗證黎曼-斯蒂爾傑斯積分的變量替換公式，並且證明分段連續的函數是黎曼可積的。到第二十週，本系列課程就要結束的時候，我們已經（通過課堂講述和家庭作業）學習了泰勒級數和傅里葉級數的收斂理論，以及多元連續可微函數的反函數和隱函數定理，並且建立了勒貝格積分的控制收斂定理。
爲了充分利用本材料，很多關鍵性的基礎結論都作爲家庭作業留給學生自己去證明。事實上，這是本課程非常重要的一點，因爲這樣可以保證學生真正掌握了這些重要的概念。這種模式將保留在學習本書的整個過程當中。絕大部分的習題都是證明課本中的引理、命題和定理。如果你希望利用本書來學習實分析，那麼我強烈建議你儘量多做這些習題，包括那些結論看起來“顯然”成立的習題。這門課程的精妙之處不是通過單純地閱讀就可以掌握的。本書絕大部分章節的最後都給出了大量的習題供大家學習。
對於專業的數學工作者來說，本書的節奏可能稍微有些慢，特別是剛開始的幾章，着重強調了嚴格性（明確標記爲“非正式”的討論內容除外），並且對那些通常被認爲顯然成立、可以一帶而過的步驟進行了論證。前幾章（通過繁瑣的證明）給出了標準數系中許多“顯然”成立的性質，例如，兩個正實數之和仍然是正的（習題5.4.1），或者任意給定的兩個不相等的實數之間一定存在有理數（習題5.4.5）。這些基礎章節也強調了非循環論證。所謂非循環論證是指不能利用後面更加高深的知識來證明前面那些初級的理論。特別是普通代數運算法則，在被推導出來之前是不能被使用的（另外，要分別證明代數運算法則在自然數、整數、有理數、實數中均是成立的）。這樣做是爲了讓學生學會利用給定的有限條件進行抽象推理，並推導出正確的結論。不斷進行這樣的練習有助於學生在後期學習中，採用同樣的推理技巧來掌握更加高深的概念（如勒貝格積分）。
因爲本書來源於我教授實分析課程時所用的講義，所以主要從教學的角度展開；許多關鍵性的資料都包含在習題當中。很多情況下，我採用了冗長且乏味但具有教育意義的證明過程來代替通俗抽象的證明。在更深層次的教科書中，學生將會發現這些材料的篇幅變得更簡短，概念更凝練；而且書中更加強調直觀性而非嚴格性。但是，我認爲首先了解如何嚴格地“動手”進行分析非常重要，因爲這有助於學生在研究生及更高的學習階段中，更好地掌握現代、直觀、抽象的分析方法。
本書着重強調了嚴格性和形式化。但是，這不意味着採用本書作爲教材的課程都要按照這樣的方式來展開。其實，我在教學過程中會向學生展示更加直觀的概念（畫一些非規範的圖形並舉一些具體的例子），從而對書中正式的授課內容給出補充觀點。那些被設置爲家庭作業的習題是連接直觀形象和概念的重要橋樑，它們要求學生把直觀形象和形式理解結合起來，幫助學生正確地論證題目。我發現這對於學生來說是最困難的任務，因爲這要求學生必須真正理解所學的知識，而不僅僅記住學習內容或者囫圇吞棗地吸收。然而，我從學生那裡得到的反饋是：雖然基於上述原因，家庭作業對他們來說是有些吃力，但是對他們也有很大益處，因爲這些作業使他們能夠把規範數學的抽象處理與對基本概念（如數、集合、函數）的直觀感覺聯繫起來。當然，在這個過程中，優秀助教的幫助也非常重要。
關於考試部分，我建議採取如下兩種方式之一：一種是開卷考試，題目可以類似於本書的習題（題目內容可以更加簡短，解題的思路更加常規）；另外一種是家庭作業式的測驗，內容應該包含解題思路較爲複雜的題目。因爲實分析所包含的內容非常廣泛，所以不應該強迫學生去記憶定義和定理。因此，我不建議採取閉卷考試，也不建議採取那種通過對書本內容進行反芻式的壓縮而做的考試。（事實上，在考試中，我會爲學生提供一張附頁，這張附頁會列出與本次考試內容相關的關鍵性定義和定理。）將考試設置成類似於家庭作業的形式，有助於促進學生認真、全面地複習和理解作業中的問題（相對於那些使用教學卡片或者類似的教學工具來讓學生記憶教材內容的方式），這不僅僅有助於學生備考，同時也能幫助他們爲一般的數學研究做好準備。
本書中的一些材料相對於主題而言是次要的，如果時間有限，可以忽略此部分內容。例如，集合論不像數系那樣是分析理論的基礎內容，所以有關集合論的章節（第3章和第8章）可以不那麼嚴格地快速略講，或者把這部分內容當作閱讀資料。附錄中關於邏輯學和十進制的內容可以作爲選學或者補充閱讀內容，不必在課堂上講授；附錄中的邏輯學部分特別適合在講授前幾章時作爲閱讀材料使用。另外，第16章（關於傅里葉級數）在本書的其他部分用不到，可以略去。
鑑於篇幅的緣故，本書分爲兩卷第一卷的篇幅稍長，但是若將那些次要的材料忽略或者刪減掉，本卷可以分爲大約30講來教授。第二卷會不時涉及第一卷的內容，但是針對已經通過其他資料學習過分析論入門課程的學生，可以直接向他們講授第二卷的內容。第二卷也分爲大約30講完成。
01
《陶哲軒實分析（第3版）》
作者：[澳]陶哲軒（Terence Tao）
譯者：李馨
本書源自華裔天才數學家、菲爾茲獎得主陶哲軒在加州大學洛杉磯分校教授實分析課程的講義。
全書從分析的源頭——數系的結構和集合論開始，然後引向分析基礎，再進入冪級數、多元微分學和傅里葉分析，最後介紹勒貝格積分，幾乎完全是以具體的實直線和歐幾里得空間爲背景，完美結合了嚴格性和直觀性。
02
《陶哲軒教你學數學》
作者：陶哲軒
譯者：李馨
菲爾茲獎得主陶哲軒數學思維大解析，通過奧數競賽習題解答，帶你領悟數學之美。
本書是國際知名數學家陶哲軒15歲時的著作，從青少年的角度分析數學問題，主要是數學競賽等智力謎題，用學生的語言解釋思考過程，完整展現了少年陶哲軒的解題思路。
03
《複分析：可視化方法》
作者：[美]特里斯坦·尼達姆
譯者：齊民友
本書用一種真正不同尋常的、獨具創造性的視角和可以看得見的論證方式解釋初等複分析的理論，公開挑戰當前佔統治地位的純符號邏輯推理。
本書是在複分析領域產生了廣泛影響的一本著作。作者獨闢蹊徑，用豐富的圖例展示各種概念、定理和證明思路，十分便於讀者理解，充分揭示了複分析的數學美。
04
《數學分析概論（巖波定本）》
作者：[日]高木貞治
譯者：馮速 高穎
日本數學的不朽名著，哺育小平邦彥、伊藤清等一代數學家的“數學聖經”
日本數學家、“日本現代數學之父”高木貞治創作的分析學入門名著。
銜接古典與現代的集大成之作，它被譽爲日本現代數學發展的“不動之根基”，也成爲日本所有微積分教材、專著的參考原點。
05
《泛函分析導論及應用》
作者：[加]歐文•克雷斯齊格
譯者：蔣正新 呂善偉 張式淇
泛函分析學習的優秀入門書，被歐美衆多大學廣泛用作數學系、物理系本科生和研究生的教材，深入淺出、清晰易懂，富有知識性和趣味性，可用於自學。
簡潔、門檻低、有答案、可自學，推薦給廣大工科學生。
本文經授權轉載自微信公衆號“圖靈新知”。
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