YouTube百萬播放量！華裔女數學家消除你對數學的恐懼

看點 爲什麼我們都害怕數學？若深究這個問題，我們不難發現，對於“數學”本質理解不同，答案或許也將變得不一樣。將“消除世界對數學的恐懼”視爲終身奮鬥事業的劍橋數學教授鄭樂雋，就希望幫助懼怕數學的人，用更開放的方式重新理解這些數學原理和公式。爲此，她將自己對於數學的理解，都寫在《數學的邏輯》這本書中，希望能幫助更多人發現數學的趣味，並愛上數學。

人類對數學的恐懼根源於何處？

大概是文科題答得天馬行空，老師也能看在你態度認真的份上給個字數分，但是對於數學題，明明正確答案只少個負號也會差之千里一分不得。

對於“數學菜鳥”來說，在考場上答數學卷就彷彿在摸恐怖箱，每讀一道題都是一個驚嚇。數學明明是一個與生活經驗高度結合的學科，但大家卻被一個個抽象難懂的公式嚇住了。

許多數學教材只掙扎於那些複雜的公式，卻沒有教會我們如何跳出題海正視數學本身究竟爲何物，不懂數學的本質卻上來就追求背誦公式和速算技巧來保證做對數學題，也難怪大家容易陷入厭學畏難的情緒之中…

將“消除世界對數學的恐懼”視爲終身奮鬥事業的數學教授鄭樂雋帶領我們進入了一段從未見過的數學旅程，揭示瞭如何從看似不可能的來源中發現深刻的真相。

鄭樂雋在YouTube視頻網站上的演講視頻瀏覽量已超過100萬次，在她的數學科普視頻賬號中，常常能看見函數與拉小提琴的畫面神奇的結合在一起的神奇畫面。

鄭樂雋說，樂譜與數學圖表非常相似，水平方向告知我們時間，垂直方向告知我們音高（波動範圍），鄭樂雋將音樂的變奏與函數的結合在一起，讓觀衆在音樂節奏的變化中理解函數的變換。

作爲一名女性數學家，鄭樂雋有着獨特的看待數學的視角，她的數學世界裡充滿浪漫的樂符和美味的烘培，鄭樂雋會告訴你，在數學中偶然發現新想法就像搞砸了蛋奶酥食譜但最終得到了餅乾一樣。

這次鄭樂雋的新書《數學的邏輯》同樣使用具象化的實例和通俗的語言將你從數學的恐懼泥潭之中拽出來。

鄭樂雋（Eugenia Cheng）

劍橋大學數學博士，芝加哥藝術學院常駐科學家

1+1=3？

《數學的邏輯》從對數學恐懼的根源講起，很多人討厭數學是因爲數學有明確的正誤之別，對於文學作品來說，一千個讀者可以有一千個哈姆雷特，但是面對“1＋1＝？”的數學問題總不能寫3寫4都算對吧？

這個答案還真不一定：比如，你把一隻公兔子與一隻母兔子放在一起，之後你很有可能得到一大羣兔子，把兩團麪糰揉在一起，最後又變成了一個麪糰。我們基於不同的條件可以說，1+1=1，也可以說1+1=3。

在這種邏輯之下，1＋1的等號後面填什麼數字已無所謂，重要的是根據1＋1所處的條件和如何相加來進行推斷的過程。

數學的本質是解決問題的手段而不是結果，無論是我們通常認爲的1+1=2這個簡單而確定的答案，還是關於納維—斯托克斯方程這種高難且複雜的答案，其實都不是數學研究的目的。

過去很多人都覺得數學是絕對理性的，因爲數學通常來自於嚴格強加的規則，這種非黑即白的僵化世界觀僅僅是對數學的一種極爲狹隘的理解。抽象的數學其實並沒有明確的正誤之別。

尤其到了專業研究層面上，數學探索的更不僅只爲求得一個等號後面能填寫什麼數字，但畢竟只有極少數人能達到這個層面並見證它的真面目。數學是理性的，但也是感性的，甚至越是高深的數學研究越是富有感情的，也正是這些類似“1+1爲什麼等於2”這種微小、簡單、天真、浪漫的問題在推動着數學前沿的發展。

可能有人問，那這麼說數學爲什麼還充斥着大量的公式定理呢？

鄭樂雋認爲：數學之所以要建立在嚴格的規則之上，要有那麼多公式、方程，正是爲了讓它經得起各種現實世界的質疑，所有的、深刻的質疑，保護我們美好的、完整的現實世界。

人們對數學的懼怕既來自對大量原本並沒那麼重要的原理、公式的畏難情緒，又與對這些原理、公式本身限制性的、缺乏想象力的解釋有關。這是真實的數學與人們對數學的認知之間存在的鴻溝。

這本書的寫作目的就是希望縮小這個差距，用最簡單的問題而不是隻有數學家才能看懂的公式，幫助懼怕數學的人，用更開放的方式重新理解這些數學原理和公式。

直面數學困惑，跳出教育誤區

家長和數學老師經常對學生們的成績感到擔憂，因爲我們當下的數學教育常常將所有學生當作未來從事數學研究的專業人士來進行期待，大多數人對數學的需求只是要像會做飯一樣掌握基本的知識就夠了，但是現在的數學教育卻對學生做出米其林大廚的期待，不能滿足老師期待的學生們自然對數學學習無法獲得滿足感和成就感。

數學作爲幾乎所有科學門類的基礎語言，數學不僅僅是關乎數學本身，其背後的數學思維和解決問題的邏輯是我們每個人學習、成長、工作、生活不可或缺的部分，不是每個人都會成爲數學家，但每個人都需要數學的邏輯。

數學看似源自一套僵硬的規則，但實際上，數學源於人類本能的好奇心理，以及人們不滿足於既有答案，試圖進行更深入探索的慾望。

也就是說，它來自問題。當你作爲一名研究生開始從事專業領域的研究時，最困難的一件事就是該從哪個問題着手，這也往往是導師要扮演的最重要的角色之一。

但是，在學校的數學課上，我們過分強調如何回答問題，反而忽視瞭如何提出問題。大多數老師執着於 “如何讓學生回答數學問題”而不是鼓勵學生“提出問題”。彷彿所有人都覺得我們只需要提出問題讓孩子們來回答，這可真是大錯特錯。

思考一下這個問題：如果你吃掉一半蛋糕，然後吃掉一半的一半，然後吃掉一半的一半的一半，以此類推。這是否意味着你永遠也吃不完這塊巧克力蛋糕？

這個問題看起來很愚蠢，但早在古希臘時期就有人提出過類似的疑惑，這就是著名的“芝諾悖論”。

當然，芝諾並沒有提到蛋糕的事，而是用從A點到B點來舉例。

他的結論似乎是說，你無論如何都要走過剩下路程的一半，但總會剩下一半的路程還沒有走。

這樣看來你好像永遠也不能抵達B點，但現實中，我們都能成功抵達目的地。

還有一個悖論講述跑步健將阿喀琉斯與一隻烏龜賽跑的故事。

烏龜先行一步，但阿喀琉斯的速度顯然快很多。

假設烏龜從A點出發，當阿喀琉斯到達A點時，烏龜多少也前進了一段路程，或許已經到達B點。

當阿喀琉斯到達B點時，烏龜依然領先，或許到達了C點。以這種方式來推論，似乎阿喀琉斯永遠也追不上烏龜。這也跟我們的常識不符。

面對這些悖論，人們可能會做出不同的反應。

有的人把雙手一攤說：“真是瞎胡鬧！”有的人不屑地說：“你當然能把巧克力蛋糕吃完！阿喀琉斯當然能追上烏龜！”但是，這些反應並未以任何方式來闡明悖論真正的思維邏輯，只是把它迴避掉了。

數學家則不是這樣，我們也感受到一種難以言狀的混亂和困惑，但這種感覺推動我們想要搞清楚究竟發生了什麼事。數學家花了幾千年的時間發明了微積分，才終於找到了該如何回答這些怪異問題的方法。而微積分又通過電學和其他現代技術推動了現代生活的發展。

困惑感往往令人沮喪，會讓你覺得自己應該放棄數學轉去做別的事情。但有時候，本應感到困惑的人並沒有表現出困惑，他們只是產生了某種錯覺或缺少自知之明。

其他一些人之所以感到困惑和不知所措，是因爲情況的確很複雜，但可惜的是，他們錯以爲自己不具備駕馭數學的能力。恰恰相反，困惑的感覺表明，你已經準確地探知到一些有趣的事情正在發生，我們有機會通過解決這個問題而變得更聰明。

在《數學的邏輯》中，鄭樂雋從那些貌似天真、模糊、幼稚、簡單或混亂的問題把我們引向最深奧的數學研究課題。這些問題所代表的一些品質往往讓我們無法與數學聯繫到一起：創造力、想象力、打破規則、娛樂性。

打破認知：等式的兩邊相等嗎？

再來一個“幼兒園”數學問題：爲什麼2 + 4 = 4 + 2 ？又是一個不痛不癢、顯而易見的問題，一個我們在很多年前一瞥之下就已知道的答案：因爲等號兩邊都等於6。

但是試想一下將這個等式放置到現實生活中，左邊表達式的意思是我們先放上2個東西，再放上4個東西，而右邊表達式的意思是我們先放上4個東西，再放上2個東西。

或許值得花一點兒時間思考一下，二者能給出同樣的結果並不是那麼顯而易見。再往稍微複雜一點說，599＋699=（600-1）+（700-1）等號兩邊在產生相同答案的意義上是相等的，儘管所涉及的過程是不同的，如果繼續推進，（600-1）+（700-1）=（600＋700）-2，到這裡，整數相加再減去一個個位數就比兩個三位數相加簡單多了。

這就是這個等式的全部意義所在：一邊複雜，一邊簡單，所以知道二者的結果相同讓我們獲益匪淺。這意味着我們可以通過簡單的一邊來理解複雜的一邊，數學所有的等式都是如此。

這纔是所有等式的真正含義：兩種事物在某個層面上相同，在另一個層面上不同。這意味着我們可以利用其相同的層面探索二者的不同之處，進而獲取更多的知識，並把理解推向更深的面。

我們通常會關注等式所表達出的二者相同的意義，但同樣重要的是二者在另一個層面上不同的意義——因此它們其實並不一樣。

這也是爲什麼數學題必須寫出推導過程。

數學不僅僅是在捲紙上寫上一個正確答案。在一些數學課堂上，老師只負責宣佈這些事實，而不是解釋或證明這些事實。當然這是一個相對極端的例子，我無意指責所有的數學教學方式，但的確有太多類似的事情發生。

於是學生們形成這樣一種印象：數學源自權威，真理自上而下傳達，就像獨裁政權頒佈的法令，人類必須循規蹈矩，不能質疑。

這不僅是對數學的曲解，而且是傳遞給孩子們的危險態度。

如果他們以爲知識都來自權威，那麼成年後他們很可能事事依賴權威，而忽略了客觀準則。他們所相信的一切都取決於他們眼中的權威人物是誰，他們會因此變成不可理喻的人，因爲他們的信念並非基於道理，而是基於權威。

這種崇尚權威的數學教育方式幾乎與數學的本質背道而馳。

數學的全部意義就是依據邏輯進行推導，或許除了邏輯本身的基礎，沒有什麼是需要權威來教導的。然而，學校裡的數學往往就是問題和解答，還有一份標準參考答案來評判你是否寫出了“正確答案”。

但是數學研究沒有標準答案，如人生也沒有標準答案一樣。那麼問題出現了：既然沒有標準答案，我們怎麼知道自己的回答是正確的呢？

這就是數學的意義所在：學會在沒有標準答案的情況下判斷答案是否正確。這也是爲什麼必須展示過程，因爲數學從本質上說就是一個過程。數學不是爲了“得到正確的答案”，而是要構建能支持某個答案的邏輯框架。

數學不僅僅是關於如何得到正確答案的科學，更是幫助讀者理解數學到底是什麼。通過理解數學的本質，消除關於數學的神話和誤解，消除對數學狹隘的、缺乏想象力的認識，用有趣的數學思維理解我們的真實世界。

《數學的邏輯》

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