次日,八點半,國奧賽正式開始。
選手們拿着零食、飲料、參考書、作圖工具等,在規定的時間內紛紛走入考場。
嗯,比賽是可以帶食物和參考書的,畢竟比賽時間太長了,而這原本就是開卷考試。
除了不能攜帶電子設備入場,其他的一切都像參加冬令營那樣輕鬆寫意。
田立心手上卻只拿了作圖工具和一瓶水。
走入考場後,田立心發現這教室一共有二十五位考生,每位考生的桌面上都插着一面國旗,這些考生基本都來自不同的國家。
旁邊坐的正是有前些天見過的寶島女生,她也是教室裡唯一的女生。
左前方,是一位阿三選手。
右前方,是一位俄國選。
除了旁邊的寶島女生,周圍坐的都是來自各大數學競賽強國的人啊。
不過,寶島姑娘的桌上雖插着梅花五環旗,本質上,也同屬於華夏這個競賽強國嘛。
時間一到,兩位監考老師就將試卷分發了下來。
拿到卷子後,旁邊這位女生的臉色就不那麼好看了。
試卷是翻譯過的,她的卷子上肯定也同爲漢字。
看不懂題,是不能用外語太差來背鍋的。
對田立心來說,第一道門檻題倒還真是送分題,他只略一思索就有了思路。
這道題的題目是這樣的,“對全體滿足a,b,c,d,e≥-1,a+b+c+d+e=5的實數,求S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)的最大值和最小值。”
先設a+b=A,b+c=B,c+d=C,d+e=D,e+a=E,S爲五個數的乘積。
討論S的最大值時,ABCDE這五個數必爲五個正數或有偶數個負數奇數個正數,這樣的情況分爲三種,即五個是正數,或一個正數四個負數,或三個正數兩個負數。
求S最小的最小值,則ABCED中的負數必爲奇數個,其分別爲五個負數,或三個負數兩個正數,或一個負數四個正數。
有了這個思路之後,解題步驟可以一蹴而就了。
解:令a+b=A,b+c=B,c+d=C,d+e=D,e+a=E,則ABCDE均大於-2,A+B+C+D+E=10。
1,先討論ABCDE都爲正數的情況,由算數幾何平均不等式可知,則S≤((10/5)5=32。
a=b=c=d=e=1時取等。
當ABCDE中有一個正數四個負數時,設A>0,BCDE四個數都小於0。
由B+C<0可知,a≥5,
又因爲e≥-1,所以E≥4。
與假設矛盾。
捨去。
當ABCDE爲三個正數兩個負數時,有相鄰兩個爲負數或間隔出現負數這兩種情況。
兩個負數相鄰時,令A=B=-2。
則C+D+E=(-1+d)+(d+e)+(e+-1)=14
即D=d+e=8,而CE≤(C+E)2/4=(d+e-2)2/4=9當且僅當C=E=3時取等號,此時S=22×8×9=288.
兩個負數間隔出現時,令A,C<0取-2時,a,b,c,d=-1,B=b+c<0
與假設矛盾。
捨去。
綜上,S ≤288,當a=b=c=-1,d=e=4時取等。
2,當ABCDE都爲負數,那麼ABCDE<0也成立,與A+B+C+D+E=10矛盾。
捨去。
當ABCDE有三個負數一個正數時,令ABC都爲負數,則有A,B,C≥-2。
由此得到D+E≤16,CD的乘積≤64,。
故有S≥64*(-2)(-2)(-2)≥-512,a=b=c=d=-1,e=9時取等。
當ABCDE有一個負數四個正數時,令A爲負數,取爲0>A≥-2,
BCDE≤((10-A)/4)4≤81
那麼,S≥81*-2=-162。
綜上,S≥-512,a=b=c=d=-1,e=9時取等。
……
田立心滿意地看着稿紙上的答案,隨後就抄到了卷子上。
門檻題的7分,已經是妥妥的了。
繼續。
第二道是平面幾何題,“R和S是圓上非直徑端點的兩點,作T使得S爲RT中點,J爲RS劣弧上任意一點,△JST外接圓和R的切線交於一點A,AJ和RS所在圓交於另一點K,求證:KT與△JST外接圓相切。”
田立心在草稿紙上畫出圖來,很快就有了解題思路。
對華夏的學生來說,平面幾何都是送分題!
拿下這兩道題,銅牌就已經算是到手了,但這離田立心的最終目標還很遠很遠。
第三題。
怎麼還是幾何?
“一個獵人和一隻隱形的兔子在歐氏平面上玩一個遊戲。已知兔子的起始位置A0與獵人的起始位置B0重合,在遊戲進行n-1回合後,兔子位於點An-1,獵人位於點Bn-1。在第n個回合中,以下三件事件依次發生。
(1)兔子移動到點An,使得An-1與An的距離恰好爲1。
(2)一個定位設備向獵人反饋一個點Pn,該設備唯一能保證Pn與An之間的距離至多爲1。
(3)獵人移動到點Bn,並且滿足Bn-1與Bn之間的距離恰好爲1。
試問:是否無論兔子如何移動,也無論定位設備反饋了哪些點,獵人總能夠適當地選擇它的移動方式,使得經過10的9次方輪遊戲後,獵人與兔子之間的距離不超過100?”
讀完題,田立心憑直覺就知道答案是不可能了。
但做數學題不能只憑直覺啊,寫出答案卻沒寫過程的,零分不能再多了。
這題好像很難啊!
模擬獵人追擊隱形兔子的物理場景,應該是關鍵性的第一步。
可以假設獵人和兔子在n個回合之後的距離S,必然存在0<S<100。
首先,第一次追蹤設備報告點P1=A0,那麼不管獵人如何移動,都有可能與兔子移動的方向相反,此時距離S=2。
由於定位點的對稱性,獵人於n步後到達的點Bs+n有可能在直線BsAs的下方,也有可能在BsAs的上方。
這道題,還需要考慮循環節N和最大方向偏差角。
有了解題思路,田立心便開始在稿紙上畫圖了。
怎麼將自己的想法轉化成數學語言纔是關鍵。
兩個多小時後,田立心終於擡起了頭,暗暗舒了口氣,可算是把這道題解出來了!
只是,左前方的阿三哥和右前方的俄國選手呢?
都提前走人了?
這兩貨這麼強的嗎?
田立心也知道,有些國家雖不能拿到團隊冠軍,但總還是有一兩個天才選手的。
算你們厲害好吧!
田立心將答案謄到卷子上,這才發現,離考試結束還有一個多小時呢。
他仔細檢查一遍,便站了起來。
交卷!
鄰桌的那位寶島女孩,此時還正絞盡腦汁地想着怎麼破解第二道題呢。
離開考場之後,田立心就在巡邏志願者的護送下,很快就走出了警戒線之外。
隨後,他一眼就看到了站在不遠處的,正翹首以待的齊教授和副教練。
他們身邊,已經有一位隊員了。